42°THE42LAWSUN ATLAS DE L’INVISIBLE CARNET DE RECHERCHE 005
PHYSIQUE MATHÉMATIQUE / FLUIDES & SINGULARITÉS

NAVIER-STOKES∂

Une équation de 1822. Une question ouverte depuis un siècle.

Manipulez un fluide visqueux, mesurez ce que l’équation conserve et dissipe, puis regardez de près ce qu’OpenAI affirme avoir démontré le 8 septembre 2026 : une vitesse qui devient infinie en temps fini, à énergie bornée, sous une force lisse. Et ce que cela ne règle pas.

CALCUL EN DIRECT DANS VOTRE NAVIGATEUR64² modes · encre 160² · domaine périodique répété trois fois
01 — L’ÉQUATION

Newton, écrit pour
une goutte d’eau.

Inconnues : la vitesse u(x, t) et la pression p(x, t). Données : la viscosité ν, l’état initial u°, la force f. Un seul terme est non linéaire ; il fait toute la difficulté.

∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p + ν Δu + f
∇·u = 0  ·  u(x, 0) = u°(x)

∂u/∂t

Variation de la vitesse en un point fixe.

(u·∇)u

Le fluide transporte sa propre vitesse : une particule accélère parce qu’elle change de place. Non linéaire ; c’est lui qui crée les tourbillons et, peut-être, les singularités.

−∇p

Poussée du fluide comprimé vers le moins comprimé. La pression n’a pas d’équation propre : elle est ce qu’il faut pour que ∇·u = 0.

ν Δu

Frottement visqueux. Linéaire, il lisse les gradients et dissipe l’énergie. Le problème du millénaire demande si ce lissage suffit toujours en dimension 3.

f

Force extérieure imposée (gravité, pompe, votre doigt sur l’écran). L’énoncé officiel l’autorise dans les alternatives de rupture, pas dans celles d’existence.

∇·u = 0

Incompressibilité : ce qui entre dans un volume en sort. Avec ν = 0, ce sont les équations d’Euler (1757).
02 — LE LABORATOIRE

Un tore de fluide
entre vos mains.

Un vrai solveur, dans votre navigateur : advection, diffusion et projection à chaque image. Six scènes, dont l’instabilité de Kelvin-Helmholtz et l’allée de tourbillons derrière un obstacle. Faites glisser le pointeur pour peindre et pousser le fluide.

TORE [0, 2π)² · DIMENSION 2MESURES BRUTESEN PAUSE
TEMPS t0,00
ÉNERGIE CINÉTIQUE—
THÉORIE (TAYLOR-GREEN)—
ÉCART—
VITESSE MAX ‖u‖∞—
REYNOLDS ≈ U·2π/ν—
MAX |∇·u| (DISCRET)—
VISCOSITÉ ν—
CALCUL PAR PAS—
GRILLE / ENCRE—

Énergie = ½ ∫ |u|² dx dy, calculée sur le champ de vitesse seul ; l’encre et les traceurs sont un rendu, ils n’entrent dans aucune mesure. Pour la scène Taylor-Green, une solution exacte, E(t) = π² A² e^{−4νt} : l’écart affiché est la dissipation numérique du schéma, qui diminue quand la résolution augmente. Elle n’est comparable que si le confinement est à 0.
En dimension 2, la solution reste lisse pour toujours (Ladyzhenskaya) : rien ne peut « exploser » ici, quels que soient vos réglages. C’est exactement ce qui rend la dimension 3 difficile.

03 — L’EXPLOSION

Vitesse infinie,
énergie bornée.

Le Théorème 1.1 d’OpenAI (8 septembre 2026) construit, en dimension 3 et sous une force lisse à support compact, un tourbillon dont le cœur se contracte en colonne : rayon ≍ τ^½, hauteur ≍ τ^(½−h), avec τ = 1 − t et 0 < h < 1/100. À t = 1, ‖u‖∞ = ∞ alors que ‖u‖₂ reste borné. Ce schéma reproduit ces deux échelles de longueur ; l’exposant de vitesse est choisi ici pour que l’énergie soit exactement constante, ce n’est pas celui du texte.

04 — LE PRIX CLAY

Quatre énoncés,
un seul suffit.

Fefferman (2000) demande la preuve de l’un des quatre. Les énoncés positifs sont sans force ; les énoncés de rupture autorisent une force lisse. L’asymétrie est dans le texte officiel.

OUVERT

(A) Existence et régularité sur R³

Pour toute donnée initiale lisse et décroissante, avec f ≡ 0, il existe une solution lisse d’énergie bornée pour tout temps.
OUVERT

(B) Existence et régularité sur le tore

Même énoncé pour des données périodiques, avec f ≡ 0.
REVENDIQUÉ LE 8 SEPT. 2026 · NON VALIDÉ

(C) Rupture sur R³

Il existe une donnée initiale lisse et une force lisse pour lesquelles aucune solution lisse d’énergie bornée n’existe. C’est l’énoncé du Théorème 1.1 d’OpenAI, avec u° = 0.
REVENDIQUÉ LE 8 SEPT. 2026 · NON VALIDÉ

(D) Rupture sur le tore

Même chose en périodique ; obtenu par support compact (Corollaire 10.6 du texte d’OpenAI).

Un certificat Lean prouve qu’un énoncé suit des axiomes ; il ne prouve pas que l’énoncé formalisé est celui du prix. L’Institut Clay exige publication, deux ans et acceptation générale ; il liste toujours le problème comme actif. Buckmaster et Alpöge avaient obtenu le 15 août 2026 des résultats analogues pour Euler, Boussinesq et milieux poreux, publiés le 7 septembre. Détails et sources : note du 12 septembre 2026.

05 — RÉFÉRENCES

Sources
du laboratoire.

  1. Navier, C.-L., « Mémoire sur les lois du mouvement des fluides », lu le 18 mars 1822, Mém. Acad. Roy. Sci. 6 (1827), 389-440.
  2. Fefferman, C. L., « Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation », Clay Mathematics Institute, 2000. Énoncés (A)-(D).
  3. OpenAI, « Finite Time Blowup for Navier-Stokes », PDF, 8 septembre 2026 ; certificats Lean : openai/NavierStokesAndEuler. Théorème 1.1 et section 2 pour les échelles.
  4. Tao, T., « Finite time blowup with smooth forcing term for the incompressible porous medium, Boussinesq, and incompressible Euler equations », blog, 7 septembre 2026.
  5. Stam, J., « Stable Fluids », SIGGRAPH 99, 121-128 (schéma d’advection semi-lagrangienne). Référence bibliographique, non consultée pour cette page.
  6. Taylor, G. I., Green, A. E., « Mechanism of the production of small eddies from large ones », Proc. R. Soc. A 158 (1937), 499-521 (tourbillons utilisés comme test). Référence bibliographique, non consultée.
  7. Note de recherche du 12 septembre 2026 : 26 sources, chronologie, ce qui est réglé et ce qui ne l’est pas ; notes scientifiques du laboratoire.